Sucesiones Convergentes

Queremos formalizar la idea de que una sucesión “se acerca” a un número conforme crece. Como en el límite de funciones, proponemos una distancia alrededor de , pero ahora no buscamos un : buscamos un momento a partir del cual todos los términos se quedan a distancia menor que de .

No importa qué tan cerca de nos pidan estar, a partir de cierto término la sucesión ya nunca se sale.

Definición. (Sucesión Convergente)

Sea una sucesión y sea . Decimos que converge a sii

En este caso decimos que es el límite de y escribimos , o simplemente .

Decimos que es convergente si existe tal que .
Si , decimos que es nula.

Idea. (El uso de )

Por propiedades de valor absoluto,

Si dibujamos la sucesión como los puntos , la franja horizontal de ancho alrededor de la recta debe atrapar a todos los puntos a partir de . Antes de puede pasar cualquier cosa; después, ya no.

Mientras más angosta sea la banda, más tarde suele empezar a atrapar: depende de , y a veces se escribe .

Observación.

1. Si funciona para , ent. cualquier también funciona, y también funciona para cualquier . Por eso basta encontrar algún , no el más pequeño.

2. sii para todo , fuera de hay solo una cantidad finita de términos.

3. Cambiar, quitar o agregar una cantidad finita de términos no afecta la convergencia ni el límite: solo importa la cola de la sucesión (ver Subsucesiones).

Proof. (2) Sea , por def. existe tq. . Ent. los únicos términos que pueden quedar fuera son , que son finitos. Sea y sea , que por hip. es finito. Si tomamos ; si no, tomamos . En ambos casos, si , ent. , i.e. .

La siguiente proposición dice que basta saber trabajar con sucesiones que tienden a :

Proposición.

Sea una sucesión y . Son equivalentes:

Proof.

Para todo ,

Ent. para cada , un mismo hace que las tres desigualdades , y se cumplan para todo , pues son la misma desigualdad.

Ejemplos de convergencia

Para probar que con la definición, el trabajo casi siempre es el mismo: acotar por algo sencillo que dependa de (como ), y luego hacerlo menor que con la Propiedad Arquimediana¹. El borrador es donde encontramos ; la prueba lo presenta limpio.

Ejemplo 1. (Sucesión constante)

Sea y para todo . Ent. .

Proof. Sea . Tomamos . Ent. , .

Ejemplo 2. ()

Borrador. Queremos , i.e. . La Prop. Arquimediana nos da un con , y si , ent. .

Proof. Sea . Por la Prop. Arquimediana existe tq. . Ent. ,

Observación. Con el mismo se tiene para todo y , pues y .

Ejemplo 3. ()

Borrador. Simplificamos la distancia:

Basta que , i.e. .

Proof. Sea . Por la Prop. Arquimediana existe tq. , i.e. . Ent. ,

Ejemplo 4. ()

Aunque y crecen sin cota, su diferencia se va a .

Borrador. Racionalizamos:

Basta que , i.e. .

Proof. Sea . Por la Prop. Arquimediana existe tq. , ent. . Ent. ,

Ejemplo 5. (, cuando la cota solo vale para grande)

Borrador.

El denominador es positivo si . Además, si , ent. , ent. . Así, para ,

Pedimos dos cosas: (para que la cota valga) y . Por eso tomamos el máximo.

Proof. Sea . Por la Prop. Arquimediana existe tq. . Sea . Ent. ,

Unicidad del límite

La definición dice “el límite”, pero eso hay que demostrarlo: una sucesión no puede acercarse a dos números a la vez.

Teorema. (Unicidad del Límite)

Sea una sucesión. Si y , ent. .

Proof.

Borrador. Si , tomamos bandas de radio alrededor de y de ; estas bandas no se tocan. Pero a partir de cierto la sucesión tendría que estar en ambas a la vez.

Proof. Sup. que y sea .
Como , existe tq. .
Como , existe tq. .
Sea , ent. cumple ambas desigualdades y

i.e. , una contradicción!

Convergente implica acotada

Recordemos que está acotada sii tq. (ver Sucesiones Acotadas).

Proposición.

Toda sucesión convergente está acotada.

Proof.

Borrador. Con , a partir de todos los términos están en , ent. . Antes de solo hay una cantidad finita de términos, y un cjto. finito siempre tiene máximo.

Proof. Sup. que . Para existe tq. . Ent. ,

Sea

que existe por ser un cjto. finito, y .

• Si , ent. por def. de máximo.
• Si , ent. .

Corolario.

Si no está acotada, ent. no converge.

El recíproco de la proposición es falso: estar acotada es necesario pero no suficiente para converger. El contraejemplo clásico es , que está acotada () pero no converge, como veremos abajo. Sin embargo, si además pedimos que sea monótona, sí converge (ver Criterios de Convergencia de Sucesiones y Sucesiones Monotonas).

Notas

1. Propiedad Arquimediana ↩