Límites de Sucesiones

En Sucesiones Convergentes y Sucesiones Divergentes probamos cada límite con la definición (-). Funciona, pero es cansado. Igual que con el límite de funciones, la idea es usar la definición para desarrollar una teoría que calcule los límites por nosotros.

Probamos pocas cosas con , y con ellas armamos todo lo demás.

Álgebra de límites

Teorema. (Álgebra de Límites de Sucesiones)

Sean sucesiones tales que y , con , y sea . Ent.

4. Si y , ent.

Proof.

1. Borrador. Por Des. triang.,

Si a cada sumando le pedimos ser menor que , la suma es menor que .

Proof. Sea . Como , existe tq. . Como , existe tq. . Sea , ent. ,

2. Si , ent. es constante y tiende a . Sup. . Sea , existe tq. . Ent. ,

3. Borrador. Sumamos y restamos :

El problema es el factor , que cambia con . Pero converge, ent. está acotada: . Así,

y le pedimos a cada sumando ser menor que . Usamos en vez de para no dividir entre si .

Proof. Como converge, está acotada (ver Sucesiones Convergentes): existe tq. . Sea . Existen tq.

Sea , ent. ,

4. Por (3), como , basta probar que .

Borrador.

El numerador es chico, pero el del denominador podría ser muy chico y hacer grande la fracción. El Lema de abajo dice que a partir de cierto , , ent. la fracción es menor que .

Proof. Por el Lema, existe tq. . Sea , existe tq. . Sea , ent. ,

Lema. (Acotación lejos de cero)

Si y , ent. existe tq.

En particular, para .

Proof.

Para existe tq. . Ent. ,

Restando de ambos lados, .

Observación.

1. Por el Lema, la hipótesis "" del inciso (4) solo sirve para que esté definida (ver la división en Sucesiones): si , de todos modos a partir de cierto término.
2. Por inducción, (1) y (3) se generalizan a sumas y productos de una cantidad finita de sucesiones. En particular, si , ent. para todo .
3. Cuidado: el teorema solo se aplica cuando cada sucesión converge. El recíproco es falso: con y , la suma converge y el producto también, pero ninguna de las dos converge.

Corolario.

Sean y . Ent.

2. Si y convergen, ent. converge.

Proof.

1. , y por (2) y (1) del teorema, tiende a .
2. Aquí solo suponemos que y convergen. Como es diferencia de dos sucesiones convergentes, por (1) converge.

Ejemplo 1. (Cociente de polinomios)

Calculemos .
No podemos aplicar (4) directamente: ni el numerador ni el denominador convergen. El truco es dividir entre la mayor potencia del denominador:

Como y , por álgebra de límites el numerador tiende a y el denominador a , con . Ent.

Observación. El mismo truco muestra que si y son polinomios de grados y , con coeficientes principales y :

• si , ent. ;
• si , ent. (al dividir entre , el numerador tiende a ).

(Siempre que para todo .)

Valor absoluto

Proposición. (Límite del Valor Absoluto)

Si , ent. .

Proof.

Por la propiedad (ver Valor Absoluto),

Ent. el mismo que funciona para funciona para .

Observación.

El recíproco es falso: , pero diverge. Sin embargo, sí vale cuando : (es la Proposición de Sucesiones Convergentes con ).

Propiedades de orden

Teorema. (Conservación del Signo)

Si para todo y , ent. .

Proof.

Borrador. Si , una banda alrededor de que no llegue al dejaría fuera a todos los términos, que son . La banda de radio justo no llega al .

Proof. Sup. que y sea . Existe tq. . En particular, , i.e. , lo que contradice que .

Corolario. (Conservación de Desigualdades)

Sean y .

1. Si para todo , ent. .
2. Si para todo , ent. .

Proof.

1. Sea . Por el Corolario de álgebra de límites , y por Conservación del Signo .
2. Aplicamos (1) con las sucesiones constantes y .

Observación.

1. Las desigualdades estrictas no se conservan: para todo , pero . Lo más que se obtiene de es .
2. Basta que las hipótesis valgan a partir de cierto (solo importa la cola).

El corolario supone que ambas sucesiones convergen. El siguiente teorema es más fuerte: si la sucesión de en medio está “apretada”, su convergencia es parte de la conclusión.

Teorema. (Sándwich)

Sean sucesiones tq. para todo . Si y , ent. .

Proof.

Borrador. A partir de cierto , y están en la banda , y está entre ellas.

Proof. Sea . Existen tq. y . Sea , ent. ,

i.e. .

Ejemplo 2. ()

Para todo , . Como y , por Sándwich .

Corolario. (Acotada por Nula)

Si está acotada y , ent. .

Proof.

Sea tq. para todo . Ent.

Como , por Valor Absoluto y álgebra de límites . Por Sándwich , ent. .

Este corolario no es álgebra de límites: puede no converger.

Ejemplo 3. ( y )

y no convergen, pero están acotadas por , y . Por el corolario, ambos productos tienden a .

Dos límites importantes

Proposición. (Potencias)

Si , ent. .

Proof.

Borrador. Si , ent. y lo escribimos como con . La Desigualdad de Bernoulli dice que , ent.

y esto es menor que si .

Proof. Si , . Sup. y sea . Sea . Por la Prop. Arquimediana existe tq. . Ent. ,

Observación.

Completando los casos de :

• : constante, converge a .
• : diverge oscilando (Ejemplo 6 de Sucesiones Convergentes).
• : (Ejemplo 5 abajo).
• : diverge oscilando, pues y el signo alterna.

Proposición. (Raíz Cuadrada)

Si para todo y , ent. .

Proof.

Por Conservación del Signo , así que tiene sentido. Sea .

Caso 1: . Racionalizando,

Existe tq. , y ent. .

Caso 2: . Existe tq. , ent. .

Ejemplo 4. ()

y por álgebra de límites . Por la proposición, .

Propiedades de

Recordemos que sii (ver Sucesiones Convergentes).

Teorema. (Álgebra con )

Sean y .

3. Si , ent. . Si , ent. .
4. Si está acotada inferiormente (p. ej. si converge), ent. .
5. (Comparación) Si para todo , ent. .

Proof.

Sea .

1. Existen tq. y . Para , .
2. Sea . Existen tq. y . Para , como y ,

3. Si , existe tq. , ent. . Si , ent. y , que equivale a .
4. Sea tq. para todo . Existe tq. , ent. .
5. Existe tq. . Para , .

Proposición. (Recíprocos)

1. Si y para todo , ent. .
2. Si para todo y , ent. .

Proof.

1. Sea . Existe tq. , ent. .
2. Sea . Si , ent. para todo . Si , existe tq. , ent. .

En (2) es indispensable que : con , oscila.

Ejemplo 5. ( si )

Por la Desigualdad de Bernoulli, con y ,

Como y , por (3) , y por Comparación .

Ejemplo 6. ()

Dividiendo polinomios, , pues . Ent.

y por (4) (con ). Por Comparación, .

Formas indeterminadas

El teorema de “álgebra con ” no dice nada de , , o . No es un olvido: en esos casos el resultado depende de las sucesiones concretas.

Ejemplo 7. (Todo puede pasar)

. En los tres casos y :

• , : , cualquier real.
• , : .
• , : oscila.

. Con y , ; pero con y , .

Por eso, ante una forma indeterminada hay que reescribir la sucesión (racionalizar, factorizar, dividir entre la mayor potencia) antes de aplicar los teoremas, como en el Ejemplo 4 de Sucesiones Convergentes () o el Ejemplo 1 de esta nota.