Definición. (Sucesión Divergente)
Decimos que
diverge (o que es divergente) si no converge, i.e. si no existe tq. .
Para demostrar que algo diverge necesitamos negar la definición de convergencia. Negando los cuantificadores,
y
Idea.
No converger a
significa que hay una banda fija alrededor de de la que la sucesión se sale una y otra vez: no importa qué tan lejos vayamos ( ), más adelante hay un término afuera ( ). Es decir, hay una infinidad de términos fuera de la banda (compara con la Observación (2) de arriba).
Ejemplo 6. (
diverge) Borrador. Los términos saltan entre
y , que están a distancia . Una banda de radio tiene ancho y es abierta, así que no puede contener a ambos. Usamos un término par y uno impar después de . Proof. Sup. que
para algún . Para existe tq. . Tomemos y , ambos : i.e.
, una contradicción! Con Subsucesiones hay un argumento más rápido: los términos pares tienden a
y los impares a .
Ejemplo 7. (
diverge) Por la Prop. Arquimediana, para todo
existe con , ent. no está acotada y por el Corolario no converge.
Divergencia a
No todas las divergentes son iguales:
Definición. (Divergencia a
) Decimos que
diverge a (o tiende a ), y escribimos o
, sii Análogamente,
diverge a sii
Idea.
Ahora el papel de
lo juega : alguien nos propone un “techo” tan alto como quiera, y a partir de cierto término toda la sucesión queda por encima de él. La banda se cambia por la semirrecta .
Observación.
no es un número real: si , ent. diverge. " " es solo notación para un tipo particular de divergencia.
, pues . Así, basta estudiar el caso . No acotada no implica tender a
: no está acotada, pero no tiende ni a ni a . Proof. (1) y (3) (1) Sup.
. Si estuviera acotada por , tomando existiría con , una contradicción. Ent. no está acotada y por el Corolario diverge. (3) Para y cualquier , el impar cumple , ent. no tiende a . Análogamente, con par se ve que no tiende a .
Con esto, toda sucesión cae en exactamente uno de los siguientes casos:
| Comportamiento | Ejemplo |
|---|---|
| Converge a algún | |
| Diverge a | |
| Diverge a | |
| Diverge oscilando (ni converge ni tiende a |
Ejemplo 8. (
) Proof. Sea
. Por la Prop. Arquimediana existe tq. . Ent. , .
Ejemplo 9. (
) Borrador. Si
no hay nada que hacer, pues . Si , ent. . Proof. Sea
. Por la Prop. Arquimediana existe tq. . Sea .
- Si
, ent. . - Si
, como la raíz cuadrada es estrictamente creciente, .
Ejemplo 10. (
) Para todo
, como , ent. . Dado , tomando el del Ejemplo 8, . Este truco de comparar con una sucesión que ya sabemos que tiende a
se generaliza en Limites de Sucesiones.
Las propiedades de los límites (álgebra de límites, sándwich, valor absoluto,