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Orden en los Enteros

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Orden en

Definición. (Orden en )

Sean decimos que es mayor que si

Notación.
Decimos que es mayor o igual que si

Definido el orden, damos paso a otra propiedade importante de

Teorema. (Dominio Entero Ordenado )

En el subconjunto de cumple lo siguiente:

  3. Para todo se tiene una y sólo una de las siguientes condiciones

Decimos entonces que son un dominio entero ordenado.

Teorema. (Propiedades )

Sean

  1. Tenemos que .
  2. Transitividad:
  1. Conservación para la suma:
  1. Si tenemos
  1. Si tenemos
  1. Tricotomía: Dados se da una y sólo una de las siguientes condiciones

Muchas de estas demostraciones, en especial de orden, pueden ser descritas geometricamente. Eso ayuda mucho para el desarrollo geometrico-algebraico de justificaciones.

3.1 Teorema.

Para cualesquiera ,

Este resultado da una equivalencia muy útil de la definición (3), basada de manera más directa en el orden de los .
3.2 Notación. será una abreviatura cuando suceda que o .

3.3 Lema.

.
Una característica importantísima es que ordena linealmente a .

3.4 Teorema.

() es un orden lineal, a saber, cumple que:

  1. , es decir, es antirreflexiva.
  2. tales que y , se tiene que , es decir, es transitiva.
  3. Dados se tiene una y sólo una de las siguientes: , , , es decir, es tricotómica.
3.5 Proposiciónes. (de ) flashcard

Para cualesquiera :

  3. si
  4. si y , entonces
  5. si
  6. si y , entonces

4. Valor Absoluto
La operación valor absoluto es la función tal que…

5. Un entero tiene inverso multiplicativo tal que .
Gracias a esta propiedad se dice que y son las unidades de . Pero para probar esto se necesita lo siguiente.

5.1 Lema

Si , entonces o .
Ahora sí veamos que estas realmente sean las únicas unidades de .

5. Teorema.

Los únicos enteros que tienen inverso multiplicativo son y
5.2 Para cualquier , existe tal que . En efecto, como y son unidades y es o , podemos concluir que o .

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