Notación. Denotamos
ó a cualquier sucesión infinita numerable de eventos.
Definición. (
-álgebra de Eventos) Sea
un conjunto arbitrario no vacío (espacio muestral). Un conjunto de subconjuntos de (i.e. una familia ), se denomica -álgebra sobre si satisface axiomáticamente las siguientes codiciones:
- Cerradura bajo uniones numerables:
Seauna suceción de eventos tal que para todo Ent.
Nota!
Podemos interpretar a
como una “lista de eventos válidos” que se define con los axiomas:
representa la pregunta fundamental: ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cualquier cosa dentro de todas las posiblidades? Si se puede saber la probabilidad de que suceda , por coherencia lógica, debe ser capaz de medir lo que falta (“que no suceda ”). Si mi “lista” me permite hacer una secuenica infinita pero numerable (indexada) de preguntas válidas, agrupar todas esas preguntas en una sola también debe ser válido. Esto es lo que permite usar límites, convergencia, cálculo…
Teorema. (Propiedades)
- Cerradura bajo uniones finitas: Sea
,
- Cerradura bajo intersecciones numerables (infinitas):
- Cerrado bajo intersecciones finitas:
- Cerradura bajo diferencia
Generalmente estas propiedades se prueban hasta cursos Análisis Real.
Proof.
- P.D.
Por axiomatenemos que . Aplicando axioma , . Pero Por lo que - P.D.
Seauna colección finita de conjuntos en . Definimos constructivamente una sucesión infinita de la siguiente manera: Dado
. Por lo tanto, , se cumple que . Utilizando el axioma , tenemos
- P.D.
Sea. Por axioma , los complementos cumplen que para todo . Por axioma obtenemos Aplicando axioma
nuevamente por la Ley de DeMorgan para unión tenemos
P.D.
La demo. es análoga a la de la propiedadpero con en lugar de . P.D.
Por def.. Por hip. . Mediante axioma , se deduce que . Dado que tenemos , y considerando que es cerrada bajo intersecciones finitas (corolario de propiedad ), la intersección de ambos eventos pertenece . Por lo tanto,
Tarea:
Demo que