Medida de Probabilidad

Definición. (Medida de Probabilidad)

Dado un espacio medible constituido por , una medida de probablidades es una función , i.e. asigna a cada un real, satisfaciendo los Axiomas de Kolmogórov:

3. Sea tal que , se tiene:

Nota!

No negatividad: Define donde está acotada .
Nomalización: La probablidad que ocurra algún resultado del espacio muestral es exactamente la unidad.
-aditividad: La probablidad de la unión de todos estos eventos es exactamente igual a la suma (serie) de sus probabilidades individuales. El axioma de es el que permite esto.

Teorema. (Propiedades de )

Sean ,

2. Suma para unión finita:
   Sea tal que
   
3. 
   De forma equivaliente,

4. Si , Ent:

• 
  Además, su generalización, para ,

Proof.

6. P.D.
   Sea .

Entonces, voy a poder ver esa suma como un límite.

Además, supongamos .
Ent.

Pero va de ,

Proof. y

7. P.D.
   Por hip. tenemos eventos ajenos, Ent.

8. P.D. para todo
   Tenemos que , en particular .
   Como Ent.

Dado y

Proof.

Sea ,
P.D.
Tenemos que , Ent.

P.D.
Ahora, notese que , por lo que

Teorema. (Más Propiedades)

Generalización esto,

Ahora si, generalización para es con induccion cuyo salto ya esta hecho en

Proof.

Sean ,
P.D.

vimos mas propiedades

Teorema. (Desigualdad de Boole)

Para eventos tales que , se tiene que

Proof.

Vamos a usar a los eventos:

¿Qué cumplen los ?

2. Son ajenos:

Con esto:

Nota. La desigualdad de Boole funciona igual para eventos,