Esperanza

Idea.

Uno de los conceptos más importantes, la esperanza es un número que indica el promedio ponderado de los diferentes valores que la variable puede tomar. También se le conoce como media, valor esperado o valor ponderado.

Definición. (Esperanza)

Sea v.a. discreta con función de densidad de probabilidad . La esperanza de se define cómo

suponiendo que esta suma es absolutamente convergente, i.e, la suma de los valores absolutos es convergente.

Por otro lado, si es continua con función de densidad , entonces la esperanza es

suponiendo que esta integral es absolutamente convergente.

Si para los dos casos, no se cumple la condición de convergencia absoluta, ent. se dice que no existe, o que no tiene esperanza finita.
Generalmente, suele denotarse .

Idea.

Los siguientes resultados establecen una forma de calcular la esperanza de una función de una v.a, sea , por def. tendríamos , para lo cual necesitamos encontrar , que en general, no es fácil.
Ent. usamos lo siguietne para calcular conociendo unicamente (func. de densidad de ).

Proposición. (Teorema del Estadistico Inconsciente) (Caso Discreto)

Sea v.a. discreta y sea función tal que es una v.a. con esperanza finita. Entonces

Proof.

Proposición. (Teorema del Estadistico Inconsciente) (Caso Continuo)

Sea una v.a. continua y sea función tq. es v.a. con esperanza finita. Entonces

Proof.

Los resultados anteriores se puede extender para el caso de o más v.a.s, como se muestra en la siguiente proposición.

Proposición.

Sean v.a. continuas definidas sobre un mismo esp. de prob. y con función de densidad conjunta . Sea una función tq. es una v.a. con esperanza finita. Entonces,

Sean v.a. discretas, el resultado es análogo,

Su dem. es similar al caso con una sola variable.

Ahora, propiedades generales de la esperanza.

Proposición. (Propiedades Básicas)

Sean v.a.s con finita y sea una constante. Entonces

Observación.

Observamos dadas estás propiedades que la esperanza el lineal, i.e. separa sumas, y, multpl. por constantes.

Otras propiedades se encuentrar en la sección de ejercicios del libro de Luis Rincón!

Proof.

Veamos ahora una aplicación del concepto de indep. en el cálculo de la esperanza.

Proposición.

Sean y v.a. independientes y ambas con esperanza finita. Ent.

Observación.

El reciproco no es válido, ej. 232

Proof.

La sig. proposición generaliza el resultado anterior.

Proposición.

Sean v.a.s indep. y sean y funciones tq. es una v.a. con esperanza finita. Entonces,