Teorema de Wilson

Lema.

Sea un número primo, . Tenemos que si y sólo si
o .

Proof.

Sea primo, .
Supongamos que o . Ent. o .
Supogamos que . Entonces . Como es primo se tiene que o . Así, o .

Una caraterización importante de los números primos:

Teorema. (Teorema de Wilson)

Sea un número primo. Tenemos que,

Proof.

Sea primo.
Como es primo, son primos relativos con y entonces tienen un inverso módulo por el Teorema de Inversos.
Además, por el lema anterior, sólo y (o y ) son su propio inverso.
Así tienen como inverso otro número de esta misma lista y asoiciando cada uno con su inverso obtenemos productos que son módulo .
Entonces, el producto de todos con
, se simplifica módulo a

pero y por transitividad

creo que en lo anteriore se termina el teorema pero esta es otra redaccion…
Así,

Teorema.

Sea

Proof.

Por Teo. de Wilson
Sup, , ent.
Ent. con , y así

esto es una comb. lineal de enteros igual a uno, ent. , es decir,

Ent. no dividen a ,