Relación Binaria

Definición. (Relación Binaria)

Una relación binaria entre y es un subconjunto de .
suele denotarse .
En el caso de , decimos que es relación binaria sobre .

A la relación , dado , se le conoce como relación vacía.
A la relación , se le conoce como relación total.

Def. (Dominio)

El dominio de una relación , es:

Def. (Imagen)

La imagen o rango de una relación , es:

Es claro que, e .

Observación

Muchas veces no se especifica de que producto cartesiano deriva una relación , esto no es problema pues .

Tipos de Relaciones

Definición. (Reflexividad)

Sea cjto. Una relación binaria es reflexiva sobre si y sólo si

Esto tambien se escribe, .

En este caso, al conjunto de ‘s (primera y segunda coordenadas iguales) le damos un nombre especial:

Definición. (Diagonal)

Sea cjto. Llamamos la diagonal de , denotada , al conjunto
.

Proposición.

Sea cjto, sea relación binaria, es reflexiva sobre si y sólo si la diagonal de está contenida en .

Definición. (Antirreflexividad)

Sea cjto. Una relación es antireflexiva sobre si y sólo si

Definición. (Simetría)

Una relación binaria es simétrica si y sólo si

Observación.

Entonces no es simétrica sii existe tal que .

Definición. (Antisimétrica)

Una relación binaria es antisimétrica si y sólo si

La propiedad de ser antisimétrica no tiene que ver con la negación de ser simétrica. De hecho, es posible que una relación sea simétrica y antisimétrica

Ejemplo.

• La relación antisimétrica más famos es .
  Por ejemplo, sea definida sobre , es antisimétrica, pues
  .
  Además no es simétrica pues y .
  Observese que esta relación como la definimos en este ejemplo es un subcjto. de , y en realidad significa que .
• Otro ejemplo es la relación de contención definida sobre .
  Es antisimetrica, pues por axioma de extensionalidad, y .
  Igualmente, esta relación no es simétrica.

Definición. (Transitividad)

Una relación binaria es transitiva si y sólo si

Observación.

Una relación binaria no es transitiva si y sólo si existen tales que y .

Se continua con las relaciones de equivalencia^[Relaciones de Equivalencia]