Números Primos

Definición. (Primos)

Sea . Decimos que es un número primo si tiene exactamente dos divisores positivos, y . En caso contrario decimos que es un número compuesto.

Observación.

Si es compuesto, entonces con ,

Lema.

Sean , , con primo.
Si , entonces para algún .

Proof.

Sea , , primo. Por inducción sobre , . Sean tales que .
Si , ent. y por el lema de Euclides .
Sea , .
Supongamos que si divide a un producto de factores, entonces divide a algún factor (HI)
Sean tales que .
Si , entonces y por el lema de Euclides .
Por HI tenemos que para algún

Teorema. (Teorema Fundamental de la Aritmética)

Todo entero no nulo es unidad, o de la forma

con unidad, , primos, y esta expresión es única salvo por el orden de los factores.

Proof.

Sea .

Existencia por inducción sobre !
Sea , entonces o y es unidad.
Sea .
Supongamos que si es tal que , ent. es unidad o se descompone del teorema. (HI)
Si es un número primo hemos terminado.
Si es un compuesto, por la observación con , ,
.
Como y , y no son unidades y por HI,

para unidades, , primos.
Así, , con unidad, , y primos. Por lo tanto existe!

Unicidad.
Sup. que existe con con unidades, , primos.
Dado que y determinan el signo de , y así

Tenemos que . Por el lema previo para algún . Sin pérdida de generalidad y como ambos son primos positivos . Así,

si , al continuar de este modo, y entonces es unidad Contradicción!
Análogamente si