Multiplo Común

Definición. (Múltiplo Común)

Sean . Decimos que es un múltiplo común de y si y .

Observación.

• Siempre hay múltiplos comunes, al menos .
• Si y siempre hay un múltiplo común positivo de y , al menos .

Definición. (mcm)

Sean . Decimos que es el mínimo común múltiplo de y si es el menor múltiplo común positivo de y . Se denotará por .

Teorema.

Sean , . Las siguiente afirmaciones son equivalentes:

2. y si y entonces

Proof.

Sean ,

Supongamos uqe . Por definición , y . El conjunto

es cerrado bajo suma y resta. Además con , entonces .
El menor elemento positivo de es y sabemos por un lema previo que divide a todo elemento de .
Así, si y tenemos que y entonces .

Supongamos que , y si entonces .
PD.
Por hipótesis sabemos que es un múltiplo común positivo de y . Veamos que es el menor de todos. Sea un múltiplo común positivo de y , entonces , . Por hipótesis , así

Teorema.

Sean . Tenemos que

Proof.

Sean

• Caso 1:
  Sabemos que
  PD.
  Como y tenemos que

Así, es un múltiplo común positivo de y .
Veamos ahora que divide a culaquier múltiplo común. Sea tal que y . Tenemos que con ,

Cancelando tenemos . Así , y como , por el lema de Euclides . Tenemos entonces que con .
Así, con , y entonces .

• Caso 2:
  Por las leyes de los signos . Por el caso 1

Corolario.

Sean . Si , entonces .