Motivacion de la relacion ~

Motivación de

Ya conocemos a los , pero observamos que en ellos hay ecuaciones que no tienen solución:

Claro esta que intuitivamente la solución sería

¿Quién es ? ¿Podríamos pensar en definir a como todas las posibles diferencias en ?

• Formalmente, esto no es correcto, pues no esta definida. Para evitar este problema formal, pensamos (codificamos) la diferencia como par ordenado de .

Notación. Por ahora, escribamos para la solución de la ecuación .

• Otro problema es observar que existen diferentes ecuaciones con misma solución, como

Dado que representan la misma solución, debemos identificarlas entre si.

De modo mas general, si , la solución de

Dados , ¿cómo podemos identificar estas parejas entre si?

• Pensando intuitivamente las parejas representan la misma solución, pero al transformarlos en , estamos trabajando ya con elementos en bien definidos.

Ent. definimos lo siguiente:

Definición. (Relación ~)

Dados , diremos que los pares ordenados y están relacionados según si y sólo si , es decir.

Teorema.

La relación es de equivalencia.

Proof.

Reflexividad:
Si tenemos que (por conmutatividad )

Así

Simetría:
Ahora, si y tenemos que . Por conmutatividad , en donde

Transitividad:
Finalmente, si y tenemos que

Sumando ambas igualdades

y por cancelación de

Así,

Observación

Veremos que nuestros son una subestructura de , pero no un subconjunto en el sentido conjuntista estricto. serán individuos nuevos que representen a los viejos.