Ecuaciones Diafontinas

Definición. (Ecuación Diafontina)

A las ecuaciones planteadas con enteros, en las que se buscan soluciones enteras, se conocen como ecuaciones diafontinas, son de la forma

Observación.

La ecuación , con , tiene solución si y sólo si , y en ese caso todo par es solución.

Teorema. (Condición necesaria para solución)

Sean , con o . La ecuación tiene soluciones enteras si y sólo si .

Proof.

Sean o .
Supongamos que tiene solución entera, entonces existe tales que . Como , entonces

Supongamos que . Entonces con . Sabemos que existen tales que . Multiplicando por ,

Así, , es sollución entera de

Teorema. (Soluciones en el caso de ser coprimos, e igual a )

Sean , o , . Las soluciones enteras de son

Proof.

Sean , o , .
consideremos , con . Entonces,

, es una solución entera de
Veamos ahora que toda solución entera es de esa forma.
Caso 1:
Sean solución de . Ent. y así

Como , por el lema de Euclides .
Así, con y entonces

Caso 2:
Es análogo

El siguiente Teorema enuncia lo mismo pero de forma conjuntista. Es bueno pensar todo de manera conjuntista, te da mayor perspectiva.

Teorema.

Sea , sea . El conjunto de soluciones de es

Proof.

Sea el conjunto de soluciones de .
PD.

la idea es simple

Sea una solución de .
Es decir, .
PD. y p.a
Sabemo

Tenemos que y como , ent , a partir de aqui podemos demostrarlo de dos formas:

1. Podemos considerar entonces el cociente que es un entero .
   Analogamente, , ent. y como , ent y podemos considerar el cociente que es un entero (es el único entero que mult. por me da i.e )
   Tenemos, ent.

Como y puedo cancelarlos, ent
Llamemos a este número. Reescribiendo

2. Como , ent. .
   Sust en

Como , la cancelo

LLamando a tenemos

Y ¿cómo encuentro todas las sol. de si ?
Busco las soluciones de , sabemos .
Y podemos dividir en , cierto?

Pero las soluciones de las dos ecuaciones son las mismas ya que para

En general, para

Hemos probado que las soluciones de son las mismas que las de

y como sus soluciones son

Corolario. (Soluciones de no ser coprimos, e igual a 0)

Sean , . Las soluciones entaras de son

En si, si es homogenea, busco sus primos relativos y divido la ecuación entre su MCD, y encuentro el conjunto de todas sus soluciones.

Una observacion es que nuestra grafica de soluciones de una ecuación, es solo en terminos de enteros, es decir, los puntos de nuestra grafica solo esta en unidades de nuestra pendiente más pequeña posible (ojo! en ).

Teorema. (Todas las soluciones a partir de una dada, y más una igual a 0)

Sean , o , . Sean tales que . Las soluciones enteras de son los pares de la forma

con tales que

Proof.

Sean , o , .
Sea , una solución entera de
Dada tales que tenemos,

Así, , es una solución de .
Veamos que toda solución es de esta forma. Supongamos que cumplen que . Tenemos que
Además,
Así,

con una solución entera de

Corolario. (Todas las soluciones, dada una sola solución)

Sean , o , . Sean tales que . Las soluciones enteras de son los pares de la forma,

De nuevo, es importante ver esto de forma conjuntista. Estos teoremas nos responden ¿Cuál es el conjunto de todas las soluciones?

Ejemplo.

Encuentra las soluciones enteras de . Mediante el algoritmo de Euclides vimos que y , por lo que existe una solución entera. Vimos además que

Multiplicando por

Así es una solución particular. Las soluciones de son