Más propiedades de
Teorema. (pseudotricotomía)
Sea
, se cumple una y sólo una de las siguietes condiciones:
En el fondo, esto es la tricotomía.
Proof.
Sea
, digamos con .
Sabemos que se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones:Si
P.D. A la inversa, si
Ent.
, i.e. . Ahora, si
P.D. .
Existetal que .
Ent.A la inversa, si
. Tenemos ent
Ent.
Ent.
Así,con , i.e. Finalmente, si
P.D.
Si y sólo si
Observación.
La doble implicación en la demostración anterior, es estrictamente formal. Pues si demostramos solamente
no verficamos el “una y sólo una” de e .
Desarrollamos más propiedades para describir algunas características importantes de
Observación.
Sean
y
Teorema. (Dominio Entero
) Sean
. Si y , Ent. . De modo equivalente, si , Ent. . Y decimos entonces que
es un dominio entero.
Es más sencillo demostrar el
Proof.
Sean
tales que y .
Parase tiene que ó . Para también ó . Caso 1:
.
Por propiedades ensabemos que . Caso 2:
y
Por prop. en, , Ent. .
Por las leyes de los signos,, por Prop. 1.2, . Caso 3:
, .
Análogo al caso 2.Caso 4:
y .
Por prop. entenemos , Ent.
Teorema.
Sean
con .
2. Si, Ent.
3. Si, Ent.
Proof.
Sean
,
4. Sup., P.D.
Sumandode ambos lados, Por el Teo. anterior
ó , pero por hip. , Ent. Sumando
de ambos lados