Dependencia e Independecia Lineal

Retomando nuestra motivación, una pregunta super importante es: ¿Cual de los subcjts. tal que , es el más chico (con respecto a la contención propia)?

Es decir habŕa algún tal que ?

Para resolverlo, nos planteamos ¿Será que algún vector de se puede escribir como comb. lineal de los demás?

Antes de pasar a nuestra definiciones, tenemos que tener en mente como se puede describir a como comb. lineal. Puede pasar que, sea .

A la segunda, le llamamos comb. lineal trivial del .

Observación.

Sean , en ocasiones no sabemos que todos sean distinitos, al menos que se especifique que . Aguas! Podemos pensar que encontramos una comb. lineal no trivial del y NO sea así!

Definición. (Comb. Lineal no Trivial del )

Sea un esp. vect. sobre . Sea y . Decimos que existe una combinación lineal no trivial del de vectores de si y śolo si tales que y

Lemita

Sea esp. vect. sobre y . Si , ent. existe una comb. lineal no trivial del de vectores de .

Definición. (Dependencia Lineal)

Sea esp. vect. sobre . Sea . es linealmente dependiente (l.d) si y sólo si, hay un número finito no vacío de vectores en , distintos por pares y hay , no todos cero, tal que

Es decir,
Sea . es l.d. si y sólo si, de forma que y y

Y en español,
es l.d. si y sólo si existe una combinación lineal no trivial de usando vectores distintos por pares de .

Definición. (Independencia Lineal)

Sea . Decimos que es linealmente independiente (l.i.) si y sólo si no es l.d… AAAAHHH!

Ya en serio, ¿Qué es realmente l.i.? Está gacho sólo decir que no es l.d.

Definición. (Independencia Lineal)

Sea . es l.i. sii

En español,
es l.i. si y sólo si no hay una combinación lineal no trivial del utilizando vectores de distintos.

Ejemplos.

• es l.i. por vacuidad.
• Si tal que , ent. es l.d.
• Si con , es l.i.

Lema. Bonito

Sean , con .

1. Si es l.d, ent. es l.d. (los l.d.s suben)
2. Si es l.i, ent. es l.i. (los l.i.s bajan)

Proof. Tarea

Formalizando un resultado muy importante,

Teorema. (Teorema de la Linealidad Finita)

Sea un esp. vect. y sea finito no vacío. Sea tal que y sea
Ent. es l.i. si y sólo si

Observación.

Gracias a que , el teorema anterior también aplica para l.d.’s finitos!

Proof.

() Sup. que es l.i, ent. para todo , cualesquiera todos distintos, se tiene que

Como es para todo , se cumple en particualr para . Es decir, para cualesquiera distintos por pares, se tiene que

Como y y los ‘s son todos distintos, cada es un y como es una comb. lineal del cero en la que aparece cada (una sola vez), por hipotesis, .
() Sea finito.
Sea con y sean .
Como , y cada es un , es decir:

(Aqui tengo duda de porque se utiliza un doble índice)
Sea . Ent. , ent.
Entonces, tenemos una comb. lineal de todos los vectores de (sin repetir) igualada a , por hipótesis, todos los escalares deben ser .
Ent. . y es l.i.

Nota!

Explicando el uso del doble índice en la Dem. anterior:
Se utiliza el índice porque necesitas una función (un mapeo) que conecte el subconjunto con el conjunto original . Tienes vectores en tu subconjunto y sabes que cada uno de ellos es idéntico a algún vector del conjunto grande. No puedes escribir simplemente , porque el índice depende de qué estés evaluando. Al escribir , estás diciendo formalmente: “Sea la posición exacta en que le corresponde al vector -ésimo de ”. Por ejemplo, si resulta ser el tercer vector del conjunto original, entonces (luego ); si es el séptimo, entonces (luego ). El doble índice es solo una manera rigurosa de indexar subconjuntos sin perder la referencia de dónde venían.

El siguiente resultado debería de ser un Teorema por su importancia:

Lema. (Lema de Dependencia)

Sea un subcjto. l.i. de un esp. vect. . Sea tal que . Ent. si y sólo si es l.d.

Observación.

Las hipótesis no ponen ninguna restricción a la cardinalidad de , por lo que puede ser finito y infinito, es decir, en la demostración no debemos de usar que sea finito.

Proof.

Sea l.i. y .
() Sup. , ent. hay y hay y hay tales que y s.p.g. supongase que .
Ent. .
Como , y como , todos los son distintos por pares y en cualquier , por lo que hemos encontrado una comb. lineal no trivial del con vectores de

() Sup. que es l.d, PD. .
Como es l.d, hay , hay todos distintos, hay no todos cero tales que .
Como es l.i, .
PD. .
Si , ent. , y como son distintos por pares y , , y para algún(os) , por lo que significaría que sería l.d! Contracción!
Por lo tanto, , y entonces,

Como , existe en , ent.