¿Será que la intersección y la unión de subespacios es un subespacio?
Teorema 1.4 (Intersección de Subespacios)
Sea
un campo. Sea un esp. vect. sobre . Sea un cjto. no vacío se subesp. de . Ent. es un subespacio vectorial de
Proof.
Contraejemplo. (
)
Tarea justificar bien!
Contraejemplo. (
)
De hecho, casi cualquiera dos subespacios distintos de un esp. vect.
A menos que:
Ejemplo. (
) ¿Qué tal si en
pensamos en un subespacio que sea una recta y otro que sea un plano?
- ¿
es subespacio?
Depende…
Hay un resultado que dice exactamente cuándo es que la unión de dos subesp. es un subespacio.
Teorema. (Unión de Subespacios)
Sea
un esp. vect. sobre un campo .
Si, ent.
Proof. Tarea
una cosa de logica!!!
Esto motiva una manera de combinar subespacios que mantenga la suma vectorial cerrada:
El conjunto formado por todos los vectores que se puede escribir como la suma de cada elemento en
.
Definición. (Suma de
) Sea
. Sea un espacio vectorial. Sean . Definimos la suma de como
Este conjunto describe a los elementos de
Teorema. (La suma es un Subesp.)
Sea
un esp. vect. Sean subesp. de . Ent. es un subespacio de .
Proof.
Corolario. (Generalización Suma de Subesp.)
Sea
un esp. vect. Sea . Si , ent. .
Proof. Tarea
Proposición.
Sea
un esp. vect. Sea .
Si, ent
Proof.
Para motivar lo siguiente, veamos un par de ejemplos de suma de subespacios
vemos un ejemplo en el cual se crea
Definición. (Suma Directa)
Sea
un esp. vect. Se dice que es la suma directa de y si y sólo si
La denotamos
Ejemplo.
Sea
Teorema.
Sea
un esp. vect. Sean . Ent. si y sólo si y para todo , los vectores y tales que son únicos.
Proof.