Definición. (Combinación Lineal)
Sea
un esp. vect. sobre un campo . Sea tal que . Un vector es una combinación lineal de vectores en si y sólo existen un ńumero finito no vacío de vectores y existen tales que, Además, decimos que
es una combinación lineal de ; y que son los coeficientes de la comb. lineal.
Observación.
- En la definición no pedimos que
sea subespacio, pues es útil que esa para subcjts. en general. - Si
, ent. es comb. lineal de , pues como , hay , ent. .
Es muy importante observar dónde aparece la palabra “finito” en la definición, “la suma para cada vector debe ser finita”. Sin embargo, no hay restricción en la cardinalidad de
Observación.
En el caso de que
sea finito, lo podemos escribir como . De esta froma, si es una comb. lineal de , se puede describir con todos los vectores de y cancelar con su coeficiente los vectores que no juegar papel en escribir a . Es decir,
Ejemplo. (Requisito de
infinito en Polinomios) Si buscamos
tal que todo polinomio en se pueda escribir como comb. lineal de vectores (polinomios) en , necesitamos que no sea finito. En efecto, si
, ent. hay que es el grado máximo de los polinomios en , y ent. cualquier polinomio con grado mayor que no se podrá escribir como comb. lineal de .
Por todas estas obs. anteriores nos dejan claro porqué la inducción es tan importante en Lineal.
Observación. ¿Cuando un vector es combinación lineal de otros?
Notaremos al desarrollar sistemas de ecuaciones para encontrar
que a veces puede ser descrito por muchas comb. lineales, y en ocasiones solo por una única! Igual, puede ser que no pueda ser descrito, pues encontraremos en su sistema de ecuaciones una contradicción! Y en otros casos, habrá que recurrir a otras área de las matemáticas para ver si es posible la comb. lineal!
Dada la última observación, nos preguntamos, dado
Ejemplo.
Respondiendo a lo anterior, consideremos
. Tomamos , Si , ent. Por lo que podemos generar todos los vectores de
con . ¿Y si
?
Seatal que existe tal que Ent.
y . Solo podemos generar a los vectores de la forma !
Definición. (Generado)
Sea
un subcjto. no vacío de un espacio vectorial . El generado por S, denotado , , , es el cjto. de todas las combinaciones lineales de vectores en .
Convención.
Observación.
puede ser finito o infinito - Si
, describimos a los vectores en el generado y al generado como
Lema 1.
Sea
un subcjto. de un esp. vect. . Ent. y
Proof.
Lema 2.
Si
, ent. es cerrado bajo combinaciones lineales.
Proof.
Observación!
Si
, por el Lema 1, . Y por el Lema 2 se tiene que la cualquier comb. lineal de elementos de también esta en , . Así .
El regreso también es válido por el Lema 1!
Thus, nuestro corolario:
Corolario 1.
Sea
Corolario 2.
Sean
y , ent. .
Proof.
Ya vimos que
Teorema 1.5 (de Subida / SU VIDA)
Sea
un esp. vectorial sobre . Para cualqueir , es un subespacio de tal que y es el (subespacio) más chico (con respecto a la contención) con la propiedad de conterner a . Es decir,
Proof.
Se demuestra con los Lemas y Corolarios.
De esta forma,
Definición. (Genera a)
Sea
esp. vect. Sea . Decimos que un subcjto. genera a si y sólo si .
Observación.
Hay una diferencia sutil entre decir el generado de
y decir que genera a un subesp. Cuando nos referimos a
, vemos a y nos preguntamos. ¿Cúal es un conjunto de vectores que genera a ? En cambio, , solamente estamos tomando un conjunto y viendo quien es .
Una pregunta super importante es: ¿Cual de los subcjts.
que , es el más chico (con respecto a la contención propia)? Ojo! Esto del “más chico” no tiene que ver con el tamaño. Ej.