Teorema de Pappus

Teorema. (Teorema de Pappus)

Sea la gráfica de una función con derivada continua y , ó, (esta última condición es para 2., para que la curva no cruce el eje ).

1. El área de la superficie de revolución al hacer girar alrededor del eje es donde es la ordenada del centroide de .
2. Similarmente, el área de la superficie de rev. al hacer girar alrededor del eje es donde es la abscisa del centroide de (si , simplemente ).

Proof.

1. Por Centros de Masa para Físicos (con densidad constante), , ent.

que es el área de la superficie (ver Solidos de Revolución).
2. Es análogo, con y el área .

Ejemplo.

Calcula el centroide del segmento de recta que genera un cono al hacerlo girar alrededor del eje .
Por el Teo. de Pappus y el área del cono (ver Solidos de Revolución),
Por semejanza de triángulos,

Lo cual tiene sentido: el centroide de un segmento (con densidad constante) es su punto medio.