Def. Supremo/Ínfimo (minima cota superior y máxima cota inferior)
Sea
, y acotado.
Si
es la menor de de todas las cotas superiores, es llamado supremo de , denotamos . Si
es la mayor de las cotas inferiores, lo llamamos ínfimo y lo denotamos .
Es conveniente completar la definición
y . - Si
no está acotado superiormente, . - Si
no está acotado inferiormente, .
-
Se demuestra que el supremo y el ínfimo son únicos.
-
En práctica, demostrar
para , es equivalente a mostrar que es un cota inferior y que
Teorema. (Propiedades)
y
Axioma del supremo (completitud)
Todo conjunto no vacío de números reales que esta acotado superiormente, tiene un cota superior mínima.
Teorema. (Axioma del Ínfimo)
Si
y está acotado inferiormente, tiene ínfimo.
Proof.
Sea
Dado que está acotado inferiormente, , y dado , está acotado superiormente. Entonces tiene supremo. Sea . Si , entonces es una cota superior de y . Esto prueba que es una cota inferior de . Además, si es una cota inferior de , entonces , y de aquí . Por lo tanto, . Q.E.D.
Con este último axioma, tenemos que
Teorema 7.1 despues de los fuertes
Teorema 1 de cotas
Teorema 7.2 despues de los fuertes
Teorema 7.3 despues de los fuertes
Teorema 2 de cotas
Teorema 3 de cotas