Integral de Darboux

Es la suma de cada “área rectangula” que se forma al multiplicar la longitud del subintervalo por algún valor de la función en el mismo subintervalo, como lo es y para definir los rectangulos más grandes y pequeños de cada subintervalo.

Definición. (Sumas de Darboux Superiores e Inferiores)

Sea continua y partición de

A se le llama suma inferior y a suma superior.

Observación.

Tenemos que

Además, si es una refinamiento de

De ocurrir,

Bueno, ahora vamos a probarlo

El refinamiento de una partición, siempre va a tener sumas más proximas, es decir, para cualquier refinar implica aumentar el área, para cualquier , implica disminuir el área.

Proposición.

Sea una partición, y un refinamiento de tenemos que

Proof.

Tomemos

tenemos que sus sumas son

y en especial, observamos

Además, si Ent.

Igualmente, si Ent.

De esta manera,

Por lo que en

De hecho, siempre se cumple que , no importa que partición.

Proposición 2.

Sean y cualesquiera particiones,

Proof.

. Observemos que es un refinamiento de y de . Así,

Ahora vamos a definir la integral de Darboux.
Después de un repaso a continuidad y continuidad uniforme…

Generalizamos la Proposición 2 con este Lema:

Cualqueir es una cota superior de conjunto de sumas inferiores, y cualqueir es una cota inferior del conjunto de sumas superiores. Y es como son reales acotados, es claro que tenemos y .

Lema 1. (Acotación de las Sumas de Darboux)

Dada continua. Definimos los conjuntos de todas las sumas inferiores y superiores como:

Entonces, para cualquier partición fija, el número real es una cota superior para el conjunto . Es decir:

Análogamente, para cualquier partición fija, el número real es una cota inferior para el conjunto . Es decir:

Lema 2. (Existencia de la Integral Inferior y Superior)

Dada continua, existen e .

Proof.

Como el conjunto es no vacío y está acotado superiormente (por cualquier suma superior, según el Lema 1), por el Axioma del Supremo, existe en .
Como el conjunto es no vacío y está acotado inferiormente (por cualquier suma inferior, según el Lema 1), por el Axioma del Ínfimo, existe en .

Una -partición es una cuadrícula tan fina que garantiza que la oscilación (variación máxima) de la función dentro de cada subintervalo sea estrictamente menor a .

Es decir, una -partición garantiza que la función no “brinque” ni varíe más de de altura dentro de ningún subintervalo.

Definición. (-partición)

Dada continua y postiva, sea .
Decimos que es una -partición, si para todo , para cualesquiera se tiene que

Recuerda que “para cualquier” es lo mismo que “para todo”, evita confusiones!

Por el Teorema (Heine-Cantor), nuestra función continua, es unif. continua. Este hecho garantiza la existencia de las -particiones.

Lema 3.

Para continua y positiva, existe las -particiones.

Proof.

Como es continua, ent. es unif. continua.
Fijando tendremos una “fija” que cumple la definición. Así, consideramos, tal que por prop. arquimediana, y sea la partición

Por ejemplo. .
Así, para cualesquiera se cumple que y; por continuidad uniforme, .
Lo mismo pasa para cualquier subintervalo

Observación.

Podemos pensar al Lema 3 como una máquina, le metes un número de tolerancia (cualquier número positivo) y la máquina te fabrica y te entrega una partición de garantizada. La garantía de esa partición es que, en cualquiera de sus subintervalos, la diferencia entre el punto más alto de la función y el punto más bajo será estrictamente menor que ese número de tolerancia que le metiste.

El Lema 3, implica el Lema 4:

Puedes acercar y a tanto como quieras!

Lema 4.

Si continua y postiva, ent. existen una suma inferior y una suma superior tales que

Proof.

Sea para cuales quiera , por continuidad unifrome.
Sea una partición tal que (Recordatorio: dado se define ).
Con esto,

Entonces,
donde y .
Si es una -partición, (la cual existe por Lema 3), Ent.

OJO! Observamos que estos Lemas dependen por hip. que una función sea continua.

Definición. (Integral de Darboux)

Sea continua, se define a la Integral de Darboux como el supremo del conjunto de todas las sumas inferiores , es decir, es decir,

Para que sea una integral tiene que cumplir las propiedades: Aditividad e Intercalación. Esto hay que demostrarlo:

Nota!

Nota. Si es continua en , también lo es en .

Proof.

Propiedad 2. Intercalación:
Observamos que, (restringido), es una partición de . Además,

y tenemos

En conclusión, para toda tal que :

Propiedad 1. Aditividad:
Sea una partición , sea una partción . Tomamos

la cual es partición de .
Consideramos o .

P.D.
Sea . Por el Lema 4, sabemos que como es continua en y en , existen particiones (de ) y (de ) tales que sus sumas cumplen:

Tomamos , la cual es partición de .

Nota. es suma inf de . es sum sup. de

Notamos que:

Entonces,

Además,
Con esto, hacemos lo siguiente:

Esto quiere decir,

y tenemos

Proposición. (Propiedad 3)

Proof.

Por Propiedad 1.

Esto implica,