Generalizando la Integral

El objetivo ahora es construir una integral para funciones que no sean necesariamente continuas. Generalizamos para funciones acotadas.

Sea acotada y .
Dado que en una funcion acotada no sabemos de la existencia de mínimos y másmios porquee??, introducimos nuestras nuevas definiciones con la generalización de y , e .

• TODO: porque?

Definición (Suma Inferior y Superior para funciones acotadas)

Añadimos como parámetro por convención, la notación es equivalente , utilizada en muchos libros.

Observación.

Si es refinamiento de se cumple:

De esta forma, se extienden nuestras propiedades ya demostradas con las nuevas definiciones.

Observación.

De igual forma, para y particiones

Lo que implica

Corolario.

Existen e

Definición. (Criterio de Integración funciones acotadas)

Decimos que acotada, es integrable si

Donde es la integral inferior y es la integral superior.

Teorema. (Criterio de Integración PRO)

Sea función acotadad, es integrable en si y sólo si, para toda existe una partición tal que .

Proof.

Supongamos que es integrable, es decir, tenemos que

Sea . Dado que y , existen particiones tales que

Tomamos . Con esto:

De aquí

Supongamos que existe partición tal que

PD.
Sea y partición tal que .
Observamos que

Entonces,

En conclusión,

Corolario.

Si es continua, entonces es integrable.

Proof.

Sea continuida, lo que implica Lema 3 y 4, lo que implica nuetro Teorema anterior. Q.E.D.

Teorema. ()

Sea continua excepto en un punto . Entonces, es integrable en .

Proof.

La idea de la demostración es aproximar por derecha e izquierda nuestro punto .
Sean y . Sabemos que es continua en en y , observamos que estos intervalos son acotados y cerrado, i.e compacto.
Por lo que es integrable en cada subintervalo:
Sea , en existe partición tal que

En existe partición tal que

Observamos que es parición de . Además, se tiene que:

De esta manera:

Si tomamos y tales que

Como el cociente de , se descarta y tenemos . Porque se descarta?

Corolario.

Sea acotada y continua en excepto en . Entonces, es integrable.

Sea acotada. Dado que y existen, se define a una suma de Reimann como

donde y .

Teorema. (Criterio de Integrabilidad 3)

Sea ; es integrable si y sólo si existe un número tal que (sucesión) con partición tal que

Se cumple que

Nota!

Recordemos el tipico ejemplo de , .
Sea y
Esta es una sucesión particular de particiones tales que . Anteriormente llegamos a que:

Ejemplo.

Sea para . Calcula con sumas de Reimann.
Sea , observamos que

Particularmente, la suma sup./inf. es suma de Reimann.

Proposición.

Sea integrables. Entonces

Proof.

Sea acotada. ¿Cúal es su integral?

Proposición 2.

Proof.

Sea partición de .

En consecuencia,

Si es integrable, entonces,

Lo que implica,

Proposición 2.

Si es integrable en entonces es integrable en todo .

Proof.

Como es integrable en . Dado existe una partición de tal que .

Defino la cual es partición de .
A su vez, es refinamiento de .
De aquí,

porque es refinamiento de .

Proposición

Proof.

Sea sucesión de particiones tales que .
Sea , donde .
esto es igual a

De esta forma,

y tenemos que

Al ser aditiva y homogénea, se dice que operador lineal.

Teorema. (Propiedad Acumulativa)

Sean acotada y . es integrable en si y sólo si es integrable en y . En cualquier caso:

Proof.

Por una proposición anterior, se cumple.
Supongamos que es integrable en y . Existen dos particiones y de y respectivamente tales que

Si , tenemos que es partición de . Además

Por esto, es integrable en .

• Ahora solo falta probar que se cumple dicha igualdad.

Para esto, usaremos el otro criterio de integrabilidad (sucesión de particiones).
Sean y sucesiones de particiones de y respectivamente tales que .
Definimos la cual es una sucesión de particiones de y cumple que .
Ahora consideremos:

Sabiendo que y .
para y , observamos que , entonces es una suma Reimann para y dada la partción . Si es integrable,

Como

Se tiene, por tanto

De esta manera, como , se concluye que

Corolario.

Dados acotada y partición de se tiene que es integrable en si y sólo si es integrable en .

Proof.

Teorema.

Sean funciones integrables:

1. Si entonces, .
2. Si entonces,
3. donde y son cotas inferior y superior de respectivamente.

Proof.

1. Cualqueir suma superior de es positiva, particualtmente, pues . De esta manera, para .
2. Si , y por , . Al ser lineal.

3. Sabemos que

Por , .
Además,

Por TFC 2, esto implica .
Sabemos que

Por