Monotonía de Funciones

Definición. (Monotonía)

Sea , y sean ,

• es creciente si
• es decreciente si

es monótona si es creciente o decreciente en .

Definición. (Monotonía Estricta)

Sea una funcion definida en un intervalo . Decimos que es estrictamente creciente en si para todo se cumple que

De manera análoga, es estrictamente decreciente si

Se dice que es estrictamente monótona si se cumple alguna de estas dos.

Proof.

La primera derivada nos habla de la tasa de cambio y la dirección de la curva.

Teorema. (Criterio de Monotonia)

Sea una función continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto .

• Si para todo , entonces es estrictamente creciente en .
  Analogamente,
• Si para todo , entonces es estrictamente decreciente en .

El recíproco es falso.

Proof.

Teorema. (Teorema de Fermat) (Condición para extremos relativos)

Si tiene un extremo local ( o ) en un punto de su dominio, y es derivable en , entonces obligatoriamente .
Y a se le llama punto crítico.