Función Logaritmo

Un matemático buscando una definición

Definición. (Logaritmo)

Para , definimos:

Teorema. (Propiedades de )

4. para .

Definición. (Logaritmo Base General)

Sea con . Para cualquier , el logaritmo en base de se define mediante el cambio de base al logartimo natural:

Derivación Logarítmica

Esta tecnica de derivación nos ahorra mucho estar aplicando álgebra de derivadas multiples veces, se trata de aplicar la función logaritmo a una ecuación y simplificarla por medio de las propiedades de , para luego derviarla.

---

pensando en sus caracteristicas sin aun su definicion…

• continuidad
• dervable
• biyectiva
• estricatemnte creciente
• Su derivada decrece a medida que crece.
• log y
• es una función concava

Proposición.

La función es creciente para : además,

Proof.

. . Para , claramente . Ahora, .
Por el crecimiento, .
Tomemos y . Por el Teorema del Valor Medio en existe tal que

Corolario.

La función para es creciente en además

Proof.

. Ahora .
Así .
Tomemos y , Por el T.V.M. existe tal que

Reescribiendo

de esta forma nos damos cuenta que el logaritmo tiene un crecimiento lentisismo, mayor que cualquier potencia

Corolario 2.

Proof.

Proposición.

Proof.

Sea y .
Probando que . ya acabé, Trucaso!

Así
Por eso
Q.E.D.

ver cociente de fermat vs cociente de newton

Definición. (Logaritmo)

Se define a como el área bajo la curva .

Teorema. (Propiedades de Logaritmo)

1. ,
6. Si entonces
7. es estrictamente creciente.

Proof.

7. Por el criterio de la primera derivada:

Teorema 1.1 (lolazo)

Proof.

Dado que , observamos que . Así dado
Sea , por P.A. existe tal que . Además . Definamos . Si . Dado que es creciente

Teorema 1.2

Proof.

Si entonces . Así

Usando el Teorema 1.1

Corolario.

Aproximacion del valor de :

Proof.

Sea . Así

Si sabemos que

Recordando que
Claramente,

Estudiaremos para aproximar el número .
Por Binomio de Newton:

Recordando
Entonces:

“Sabemos” que . Lo que si probamos fue que es creciente para pues

Además, . Así
/?????
Fignese que la funcíon cumple que y . Por esta razón

lo que implica que

nooooooooo ya no se

Por el Teorema de Taylor, si es una función -diferenciable alrededor de , entonces

siendo el residio.

Dado que es (es infinitamente diferenciable), tomando

tomando