Definición. (Continuidad)
es continuo en si Es decir,
La continuidad se preserva al algebra de limites:
Teorema.
Sean
continuas en . Entonces , , , , con para el cociente, son continuas en .
Aunque el intervalo sea abierto, la función no puede “explotar” al infinito cerca de un punto donde es continua. A diferencia del Teo. Weierstrass, que da acotación global para todo un intervalo cerrado.
Teorema. (Acotación Local)
Sea
continua en , entonces existe y tales que
Ahora bien, veamos la definición de función continua de Cauchy.
Continuidad en un punto interior
del
Def. (Continuous)
Let
be defined in a neighborhood of . The function is continuous at provided .
Note
Esto significa por cada vecindario
de , existe un vecindario de tal que , es decir, . O equivalentemente, claro está por . Por lo que podemos desarrollar demostraciones de las dos formas.
Observación
Es claro que
puede no ser continua en si:
no esta definida en . no existe. está definida en y existe, pero
Continuidad en extremos: Claro es ta que se define por limites laterales.
Ejemplo 1. ("neighbourhood method" proof)
Sea
, definido por , Se demostrará que si , entonces es continua en .
Proof.
Seaun vecindario de , . Por lo que . Tenemos que encontrar un vecindario de tal que .
Sea, , . Entonces, como , tenemos entonces
. Además, si , entonces y entonces
.
Ejemplo 2. (
proof) Sea
, y .
PD.es continua en .
Sea, y . PD. Reescribiendo la desigualdad
Propone
, pero no es claro el para el para todo . Podemos resolver esto requiriendo a lejos de .
Por ejemploEntonces
Las desigualdades (1), (2) y (3) sugieren tomar
Para este
, fácilmente se tiene, si entonces
Summary
Después de definir el límite y la continuidad en un punto, abrimos multiples discusiones diversas: continuidad en un punto arbitrario^[Continuidad en un punto arbitrario], en un conjunto^[continuidad en un conjunto], varias propiedades importantes de funciones continuas^[propiedades de funciones continuas], continuidad uniforma^[Continuidad Uniforme], propiedades con extremos^[continuidad y extremos], y revisitar la propiedad de Darboux^[Propiedad de Darboux] con nuestros conceptos de continuidad ya establecidos, además entramos en terrenos de discontinuidad^[Discontinuidad de funciones] y las funciones monótonas^[Funciones Monotonas]… y más