Centros de Masa (Actuarios)

Dado un vector de puntos con vector asociado de masas se definio el momento de masas (respecto al origen) por:

Observación.

Si
Esto no es más que un promedio ponderado.

También definimos al centroide como

Observación.

en donde
Esto es como “una normalización de masas”.

Teoría de la Probabilidad

Sea un experimento que tiene por posibles resultados cada uno de ellos con probablidad de ocurrencia . Si es tal que
y entonces a se le conoce como función de masa de probablidad.

Definición. (Primero Momento)

Dado y se define el primero momento como

en proba se le llama esperanza.

Ejemplo.

Si tenemos un número infinito de resultados, con probablidades correspondientes , la función de masa de proba asociada cumple

El concepto de esperanza es donde

Definición. (Función de Probabilidad Acumulada)

La función de probabilidad acumulada es

donde y se cumple:

• No decreciente.
• Continua por la derecha,

Generalizando al caso continuo

Supongamos que tenemos un experimento que mide el tiempo de falla de un producto. La función que generaliza la función de masa de probabilidad, se llama función de densidad y cumple:

Similarmente, se generaliza la función de masa acumulada a función de dsitribución, que cumple las propiedades de una función de distribución, se define como

Observación.

1. Esta relación es muy importante, pues por TFC,
2. Suponiendo que , por TFC,

Ejemplo.

Supongamos que mediante pruebas experimentales se ha determinado que el tiempo de falla de un foco está dado por .

• ¿Cuánto vale para que sea una densidad?
  esto es, , ya, desarrollamos el binomio al cuadrado, multiplicamos por , sacamos , serparamos la integral y evaluamos en los límites de integración.

Así, encontramos para que satisfaga las propiedades de función de densidad.

Calcula la proporción de focos que fallan entre y :

Calcula el tiempo esperado de falla del foco.